【3.1】克罗内克函数( Kronecker delta)
在数学中，Kronecker delta（以 Leopold Kronecker 命名）是两个变量的函数，通常只是非负整数。 如果变量相等，则函数为1，否则为0：
$$\delta _{{ij}}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}$$
其中Kronecker delta δij是变量i和j的分段函数。 例如，δ12 = 0，而δ33 = 1。
Kronecker delta 一般出现在数学，物理学和工程学的许多领域，作为紧凑地表达其定义的一种手段。
在线性代数中，n×n单位矩阵I具有等于Kronecker delta的条目：
$${\displaystyle I_{ij}=\delta _{ij}}$$
其中i和j取值1,2，…，n，矢量的内积（ inner product ）可写为：
$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i,j=1}^{n}a_{i}\delta _{ij}b_{j}.}$$
对正整数的限制是常见的，但没有理由它不能有负整数和正整数，或任何离散的有理数。 如果上面的i和j采用有理数，那么例如
$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{(-1)(-3)}&=0&\qquad \delta _{(-2)(-2)}&=1\\\delta _{\left({\frac {1}{2}}\right)\left(-{\frac {3}{2}}\right)}&=0&\qquad \delta _{\left({\frac {5}{3}}\right)\left({\frac {5}{3}}\right)}&=1.\end{aligned}}} $$
参考资料
